平面向量重心坐标公式在平面几何中，重心坐标是一种用于描述点相对于三角形位置的坐标体系。它不仅在数学中具有重要地位，在计算机图形学、工程力学以及计算几何等领域也有广泛应用。这篇文章小编将对“平面向量重心坐标公式”进行划重点，并通过表格形式展示其核心内容。
一、概念概述
重心坐标（Barycentric Coordinates） 是一种以三角形顶点为参考系的坐标表示方式。对于一个给定的三角形 $ \triangle ABC $，任意一点 $ P $ 在该三角形内部或外部都可以用三个非负实数 $ (u, v, w) $ 来表示，满足：
$$
u + v + w = 1
$$
这三个系数分别对应于点 $ P $ 相对于三角形三个顶点 $ A, B, C $ 的“权重”，因此也称为“质量坐标”。
二、向量形式的重心坐标公式
设三角形 $ \triangle ABC $ 的顶点分别为 $ A, B, C $，点 $ P $ 在该三角形内，则其重心坐标可表示为：
$$
P = uA + vB + wC
$$
其中 $ u + v + w = 1 $
若已知点 $ P $ 的坐标，可以利用向量运算求出对应的重心坐标 $ (u, v, w) $。
三、计算技巧
1. 已知点 $ P $ 坐标和三角形顶点坐标，可以通过解线性方程组来求得 $ u, v, w $。
2. 利用面积法：根据点 $ P $ 与三角形各边构成的小三角形面积比例来确定重心坐标。
3. 矩阵法：将难题转化为矩阵形式，通过求逆矩阵来得到解。
四、关键公式拓展资料
| 公式名称 | 表达式 | 说明 |
| 重心坐标定义 | $ P = uA + vB + wC $, $ u + v + w = 1 $ | 点 $ P $ 可由三角形顶点加权表示 |
| 向量形式 | $ \vecP} = u\vecA} + v\vecB} + w\vecC} $ | 用向量表达重心坐标 |
| 面积法公式 | $ u = \frac\textArea}(PBC)}\textArea}(ABC)} $, $ v = \frac\textArea}(PCA)}\textArea}(ABC)} $, $ w = \frac\textArea}(PAB)}\textArea}(ABC)} $ | 利用面积比计算重心坐标 |
| 矩阵解法 | $ \beginbmatrix} u \\ v \\ w \endbmatrix} = \beginbmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \endbmatrix} \cdot \beginbmatrix} x_P \\ y_P \\ 1 \endbmatrix} $ | 通过矩阵变换求解 |
五、应用实例
假设三角形 $ \triangle ABC $ 的顶点为：
– $ A = (1, 1) $
– $ B = (3, 2) $
– $ C = (2, 4) $
点 $ P = (2, 2) $
利用面积法可计算出：
– $ \textArea}(ABC) = 2 $
– $ \textArea}(PBC) = 0.5 $
– $ \textArea}(PCA) = 1.5 $
– $ \textArea}(PAB) = 0 $
则重心坐标为：
$$
u = \frac0.5}2} = 0.25,\quad v = \frac1.5}2} = 0.75,\quad w = \frac0}2} = 0
$$
验证：$ u + v + w = 1 $，符合要求。
六、拓展资料
重心坐标是连接几何与代数的重要工具，尤其在处理三角形内部点的位置时非常实用。通过向量形式和面积法等不同技巧，可以灵活地进行计算与应用。掌握这些公式和技巧，有助于深入领会几何结构及其在实际难题中的影响。
附录：关键公式速查表
| 项目 | 内容 |
| 定义式 | $ P = uA + vB + wC $, $ u + v + w = 1 $ |
| 向量式 | $ \vecP} = u\vecA} + v\vecB} + w\vecC} $ |
| 面积法 | $ u = \frac\textArea}(PBC)}\textArea}(ABC)} $, 等 |
| 矩阵法 | $ [u,v,w]^T = M \cdot [x,y,1]^T $, 其中 $ M $ 为特定矩阵 |
如需进一步分析具体应用场景，可结合实际难题进行拓展。
