复合函数怎样求导公式高三课程上的在高中数学中，复合函数的求导一个重要的聪明点，尤其在高三阶段的进修中，学生需要掌握这一内容以应对高考和后续的高等数学进修。复合函数的求导主要涉及“链式法则”，这是微积分中的基本工具其中一个。

一、复合函数的基本概念

复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数。例如，若函数 $ y = f(u) $ 和 $ u = g(x) $，则可以构成一个复合函数：

$$ y = f(g(x)) $$

其中，$ y $ 是关于 $ x $ 的函数，而 $ u $ 是中间变量。

二、复合函数的求导技巧——链式法则

链式法则是求复合函数导数的核心技巧。其基本想法是：

> 如果 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，那么 $ y $ 关于 $ x $ 的导数为：

$$

\fracdy}dx} = \fracdy}du} \cdot \fracdu}dx}

$$

即：

$$

y’ = f'(u) \cdot g'(x)

$$

三、常见复合函数类型及求导公式拓展资料

复合函数形式	导数公式	说明
$ y = f(g(x)) $	$ y’ = f'(g(x)) \cdot g'(x) $	链式法则直接应用
$ y = [g(x)]^n $	$ y’ = n[g(x)]^n-1} \cdot g'(x) $	幂函数的链式法则
$ y = e^g(x)} $	$ y’ = e^g(x)} \cdot g'(x) $	指数函数的导数
$ y = \ln(g(x)) $	$ y’ = \frac1}g(x)} \cdot g'(x) $	对数函数的导数
$ y = \sin(g(x)) $	$ y’ = \cos(g(x)) \cdot g'(x) $	三角函数的导数
$ y = \cos(g(x)) $	$ y’ = -\sin(g(x)) \cdot g'(x) $	三角函数的导数
$ y = a^g(x)} $	$ y’ = a^g(x)} \cdot \ln(a) \cdot g'(x) $	指数函数（底数为常数）

四、使用技巧与注意事项

1. 识别中间变量：在计算复合函数导数时，开头来说要明确哪个是内层函数，哪个是外层函数。

2. 分步计算：先对最外层函数求导，再乘以内层函数的导数。

3. 注意符号变化：如正弦函数的导数是负的余弦函数，需特别注意。

4. 多次复合时应用链式法则多次：如 $ y = f(g(h(x))) $，则导数为 $ f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x) $。

五、例题解析

例题1：求 $ y = (2x + 3)^5 $ 的导数。

解：

设 $ u = 2x + 3 $，则 $ y = u^5 $

$$

\fracdy}dx} = 5u^4 \cdot \fracdu}dx} = 5(2x + 3)^4 \cdot 2 = 10(2x + 3)^4

$$

例题2：求 $ y = \sin(3x^2) $ 的导数。

解：

设 $ u = 3x^2 $，则 $ y = \sin(u) $

$$

\fracdy}dx} = \cos(u) \cdot \fracdu}dx} = \cos(3x^2) \cdot 6x = 6x \cos(3x^2)

$$

六、拓展资料

复合函数的求导是高中数学的重要内容，掌握链式法则并灵活运用是关键。通过表格形式拓展资料各类常见复合函数的导数公式，有助于记忆和领会。同时，在实际练习中应注重步骤清晰、逻辑严谨，避免因忽略中间变量而导致错误。

原创声明：这篇文章小编将内容基于高三数学教学聪明整理，结合常见题型与公式，旨在帮助学生体系掌握复合函数的求导技巧。